“數(shù)學(xué)奧林匹克”，被譽(yù)為數(shù)學(xué)思維的“體操”。開設(shè)奧數(shù)教育和奧數(shù)競(jìng)賽，其目的是發(fā)現(xiàn)具有優(yōu)秀數(shù)學(xué)潛質(zhì)的少年，對(duì)孩子進(jìn)行適度啟智教育，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇和興趣。

華東師范大學(xué)教授熊斌擔(dān)任了至少10年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家隊(duì)領(lǐng)隊(duì)，數(shù)學(xué)對(duì)于青少年腦力鍛煉、思維邏輯、興趣培養(yǎng)、發(fā)掘?qū)２诺确矫娴淖饔?，他深有感觸，但是他也見到過(guò)無(wú)數(shù)家長(zhǎng)為自己的孩子是否要學(xué)奧數(shù)糾結(jié)。究竟什么樣的孩子適合學(xué)奧數(shù)？自家孩子到底要不要學(xué)“奧數(shù)”？

在不久前的第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，他談了對(duì)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽和人才選拔的看法。

中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽始于1956年，這一年，北京、天津、上海、武漢四大城市分別舉辦了高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽。華羅庚教授親自擔(dān)任北京市競(jìng)賽委員會(huì)主席，并主持命題工作。老一輩數(shù)學(xué)家華羅庚、傅種孫、陳建功、蘇步青、段學(xué)復(fù)、江澤涵等作了專題報(bào)告。從專家陣容可見這一活動(dòng)受到重視的程度。

在我國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽創(chuàng)辦之初，華羅庚教授就擔(dān)心，“這一工作會(huì)不會(huì)打亂學(xué)校的工作呢？會(huì)不會(huì)影響全面發(fā)展的原則呢？做得不好，是有可能的?！痹谶^(guò)去一段時(shí)間，數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)全民化、低齡化等現(xiàn)象飽受質(zhì)疑，多多少少印證了華羅庚先生的這種擔(dān)心。國(guó)內(nèi)外有不少數(shù)學(xué)家贊成并積極倡導(dǎo)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，肯定其教育價(jià)值，但他們也對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽持十分謹(jǐn)慎的態(tài)度。

數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手中涌現(xiàn)出了一批優(yōu)秀青年人才

中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)最初主要是由老一輩數(shù)學(xué)家倡導(dǎo)并親自主持，在個(gè)別重要城市舉辦，屬于中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的早期萌芽。1985年，中國(guó)首次參加了第26屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO），當(dāng)時(shí)只去了兩名同學(xué)，后來(lái)一般都是派出6名隊(duì)員。其后進(jìn)入中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)蓬勃發(fā)展的階段，并于1990年在北京舉辦了第31屆IMO。與此同時(shí)，各級(jí)各類競(jìng)賽活動(dòng)蓬勃開展，學(xué)習(xí)材料豐富多樣，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)成為部分學(xué)生的第二課堂，甚至成為尖子生的“第二學(xué)?！薄?/p>

中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手中已經(jīng)涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)人才，如張偉、惲之瑋、許晨陽(yáng)、劉一峰等著名的拉馬努金獎(jiǎng)（Ramanujan Prize）獲得者以及朱歆文、王菘、劉若川、何宏宇、何斯邁、袁新意、肖梁等在國(guó)內(nèi)外知名高?；蚩蒲袡C(jī)構(gòu)從事數(shù)學(xué)研究工作的學(xué)者。2008年、2009年IMO的滿分金牌獲得者韋東奕，在研究生一二年級(jí)時(shí)就做出了很好的成果。

包括我在內(nèi)，中國(guó)共有6位保羅·厄爾多斯獎(jiǎng)獲得者，其他幾位分別是裘宗滬、孫文先、柳賢、岑嘉平、冷崗松。

隨著各項(xiàng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的舉辦，全國(guó)各地廣泛開展數(shù)學(xué)競(jìng)賽教育活動(dòng)，并形成了一定的數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)體系。中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽水平日益提升，在國(guó)際上取得了十分優(yōu)異的成績(jī)。

中國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)體系呈現(xiàn)“校級(jí)——省市級(jí)——省際級(jí)”的結(jié)構(gòu)，兼顧普及與提高，交叉覆蓋到學(xué)生的各個(gè)年齡段以及學(xué)習(xí)水平層次。其中，省際級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)主要由一些區(qū)域性數(shù)學(xué)競(jìng)賽和特色夏令營(yíng)活動(dòng)組成，每年可以生成大量的共享資源。

此外，教練員培訓(xùn)也是整個(gè)培訓(xùn)體系的一部分。中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)于1988年起建立了“中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克等級(jí)教練員制度”，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)及各省市的數(shù)學(xué)會(huì)，經(jīng)常開設(shè)有中學(xué)青年教師的培訓(xùn)班并有相關(guān)的評(píng)定。在一些師范院校，除了數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)課程與教學(xué)實(shí)習(xí)之外，還會(huì)開設(shè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽與解題原理、數(shù)學(xué)方法論等一些選修課程，為師范生踏上教練員崗位做好前期準(zhǔn)備。

作為數(shù)學(xué)資優(yōu)生培養(yǎng)的一種方式，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的培訓(xùn)從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)說(shuō)在于培養(yǎng)未來(lái)的數(shù)學(xué)家和科學(xué)拔尖人才。有不少數(shù)學(xué)教育家和實(shí)踐者注重鼓勵(lì)中學(xué)師生，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)中進(jìn)行研究型的學(xué)習(xí)和學(xué)術(shù)交流。

數(shù)學(xué)競(jìng)賽培養(yǎng)的究竟是什么樣的數(shù)學(xué)能力

奧數(shù)培訓(xùn)的全民化近年來(lái)受到諸多詬病，但是數(shù)學(xué)競(jìng)賽本身毫無(wú)疑問(wèn)有其數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)體系，同時(shí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)開放題也受到越來(lái)越多的重視。那么數(shù)學(xué)競(jìng)賽究竟培養(yǎng)的是什么樣的數(shù)學(xué)能力？

近年來(lái)幾何教學(xué)在我國(guó)中小學(xué)課程中有所削弱，缺乏邏輯推理訓(xùn)練妨礙了學(xué)生推理與證明技能的發(fā)展，也引起了數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育者的憂慮。

然而，在各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，平面幾何仍保持穩(wěn)定的比重，特別是在近些年的IMO中，常有高難度的幾何題被各國(guó)領(lǐng)隊(duì)推選為正式賽題。這種導(dǎo)向作用對(duì)維持?jǐn)?shù)學(xué)資優(yōu)生推理與證明的學(xué)習(xí)水平多少是有益的。

又比如，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題常常要求學(xué)生站在更高的層次，識(shí)別和使用數(shù)學(xué)思維中的“關(guān)聯(lián)”，能選擇、應(yīng)用和轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)的表征，靈活轉(zhuǎn)換命題以解決問(wèn)題，這就訓(xùn)練了他們的聯(lián)結(jié)與表征能力。

此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)交流及形式化表達(dá)的能力也被不斷地訓(xùn)練與提高，因?yàn)樗麄円宄尸F(xiàn)自己的數(shù)學(xué)想法或解題過(guò)程，也需要在與老師、同學(xué)的交流中吸收、分析、評(píng)價(jià)他人的數(shù)學(xué)想法和解題策略。

更重要的是，數(shù)學(xué)競(jìng)賽提供了大量的“問(wèn)題解決”的訓(xùn)練素材，這些題目往往不能簡(jiǎn)單地套用課本的公式或定理完成求解，而是需要一定的數(shù)學(xué)洞察力與創(chuàng)造性思維。正如華羅庚教授所指出的，“數(shù)學(xué)競(jìng)賽的性質(zhì)和學(xué)校中的考試是不同的，和大學(xué)的入學(xué)考試也是不同的，我們的要求是，參加競(jìng)賽的同學(xué)不但會(huì)代公式，會(huì)用定理，而且更重要的，是能夠靈活地掌握已知的原則，和利用這些原則去解決問(wèn)題的能力，甚至創(chuàng)造出新的方法、新的原則去解決問(wèn)題。這樣的要求，可以很正確地考驗(yàn)和鍛煉同學(xué)們的數(shù)學(xué)才能?！?/p>

數(shù)學(xué)開放題，解法往往超出命題者預(yù)想

“數(shù)學(xué)開放題”（Open Ended Problems）是涉及解題創(chuàng)造性的另一大課題。這一課題最先從日本引進(jìn)，在戴再平教授的倡導(dǎo)下，我國(guó)的數(shù)學(xué)開放題教學(xué)獲得了豐富的理論成果。

粗略地說(shuō)，數(shù)學(xué)開放題就是答案不唯一的題。一般的中學(xué)數(shù)學(xué)題只有唯一的正確答案，從解法多樣的角度講，即便是“一題多解”，往往也只有為數(shù)不多的幾種易于想到的解法。然而，在越高層次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，越有可能出現(xiàn)“解法開放”的現(xiàn)象——這些解法往往超出命題者的預(yù)想。

比如，在2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試的4道題中，有3道的解答過(guò)程事后得到了簡(jiǎn)化；在2014年的國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)中，主試委員會(huì)經(jīng)過(guò)閱卷，發(fā)現(xiàn)了不少漂亮解法，另有幾題的預(yù)設(shè)解答亦得到了簡(jiǎn)化，這些題占總數(shù)的一半以上；在2014年?yáng)|南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克中，一位選手在最難的一道賽題中獲得了簡(jiǎn)明解法，將原解法縮短了一半，超出主試委員會(huì)所有專家的預(yù)計(jì)。這并不奇怪，據(jù)記載，在1980年芬蘭、英國(guó)、匈牙利、瑞典舉行的四國(guó)聯(lián)合競(jìng)賽中，有一道題目的解法相當(dāng)繁瑣，前后用了四次數(shù)學(xué)歸納法，譯成中文約有4000字，后來(lái)我國(guó)的專家給出了一些簡(jiǎn)單的解法，均只需十余行字，但其代數(shù)變形的隱蔽性很強(qiáng)，十分不易發(fā)現(xiàn)。

在歷屆IMO中，對(duì)于那些得到特別漂亮的解法和非平凡的推廣的選手，主試委員會(huì)會(huì)頒發(fā)特別獎(jiǎng)。至今為止，特別獎(jiǎng)已授予了40多名選手。

可以十分肯定地說(shuō)，許多被研究和討論過(guò)的競(jìng)賽題仍具有高度的“解法開放性”，在新的求解者的“攻擊”下，還可能發(fā)現(xiàn)其他解法，或引出新的不平凡的問(wèn)題。

同時(shí)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中還有大量的探究性問(wèn)題，在面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的目標(biāo)是不確定的，無(wú)現(xiàn)成的模式可套用，求解過(guò)程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。

因此，盡管數(shù)學(xué)競(jìng)賽題與數(shù)學(xué)開放題在內(nèi)涵上有所不同，但在培養(yǎng)資優(yōu)學(xué)生的創(chuàng)造能力方面，利用好數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，完全能夠高質(zhì)量地達(dá)成數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的一部分功效。

始終保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣比競(jìng)賽得獎(jiǎng)更重要

關(guān)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽“全民化”，我國(guó)學(xué)者持有多種見解。有人提出數(shù)學(xué)競(jìng)賽教育應(yīng)面向全體中學(xué)生，使學(xué)生感受靈活的思維方式，受到解題藝術(shù)的熏陶。也有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)競(jìng)賽是適合少數(shù)人（例如5%的人）的活動(dòng)，應(yīng)當(dāng)控制影響面。其實(shí)，正如體育運(yùn)動(dòng)一樣，全民運(yùn)動(dòng)是為了強(qiáng)身健體，而專業(yè)運(yùn)動(dòng)員則要求有成績(jī)的突破。同樣地，從數(shù)學(xué)普及功能而言，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題完全可以面向廣大中小學(xué)生；但從發(fā)現(xiàn)和選拔人才的角度而言，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的確只適合于有濃厚興趣和較強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的少數(shù)學(xué)生。如果強(qiáng)求大多數(shù)學(xué)生投入到高水平的數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練中，是違反教育規(guī)律的。

關(guān)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽“低齡化”，其實(shí)在歷屆IMO中不乏低年級(jí)學(xué)生獲獎(jiǎng)的情況，例如菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒（Terence Tao）在12歲時(shí)就獲得了IMO金牌。開展數(shù)學(xué)競(jìng)賽有利于發(fā)現(xiàn)這種極個(gè)別的超常兒童的數(shù)學(xué)天分。然而過(guò)度低齡化也將帶來(lái)弊端，如柯爾莫戈洛夫指出“那些在五、六年級(jí)時(shí)參加過(guò)解題競(jìng)賽的男孩和女孩們，到了高年級(jí)之后，其中的大多數(shù)人都會(huì)失去他們的解題本領(lǐng)，甚至失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。”因此，如何讓超常學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，始終保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，是開展數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)時(shí)必須考慮的。

近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)競(jìng)賽教育的全民化、低齡化，全國(guó)各地低年齡選手的解題水平大幅提高，初中競(jìng)賽的試題難度和復(fù)雜程度也水漲船高，似有與課堂教學(xué)脫節(jié)之嫌。

有一種觀點(diǎn)是，“當(dāng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的內(nèi)容為越來(lái)越多的中學(xué)師生所熟悉和掌握時(shí)，它就完成了奧林匹克使命，而成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一部分，這就是一種普及、一種傳播。”其實(shí)，在文化得以傳播的同時(shí)，也將帶來(lái)兩方面的挑戰(zhàn)。一方面，越來(lái)越多的課外內(nèi)容被“普及”到課內(nèi)，可能會(huì)使學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)材料過(guò)多，加重學(xué)業(yè)的負(fù)擔(dān)，該如何控制這種影響；另一方面，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容在被普及的同時(shí)，往往就失去了選拔的功能，因此還需要有包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)的各方力量相互配合，做好命題工作，保證命題的新穎性及能力導(dǎo)向性。無(wú)論從哪方面講，數(shù)學(xué)競(jìng)賽都應(yīng)盡量避免在大家都熟悉的、或是已有規(guī)范研究的領(lǐng)域中提出越來(lái)越復(fù)雜的問(wèn)題。

總之，我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽教育是對(duì)課堂教學(xué)的一種補(bǔ)充和提升，但在處理普及和選拔、大眾教育和精英教育的關(guān)系上，仍將做出長(zhǎng)期的實(shí)踐探索。

（作者為上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任，華東師范大學(xué)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克研究中心主任 熊斌）